Question

若函数y=f（x）的定义域为D，存在正数T，对任意的x∈D，都有f（T+x）≥f（x），则称函数f（x）是D上的“T阶高升函数”，已知函数g（x）=

|x-( 1 3 )m|-( 1 3 )m，x≥0 -|x+( 1 3 )m|+( 1 3 )m，x＜0

是实数集R上的

4

3

阶高升函数，则实数m的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数的图象

专题：函数的性质及应用

分析：先由函数的解析式推出所给的函数为奇函数，只要画出x＞0时的图象即可，因为(

1

3

)m是一个正数，
当0≤x≤(

1

3

)m时，g（x）=x；当x≥(

1

3

)m时，g（x）=x-2(

1

3

)m，两者都是线性的函数，函数图象易画，
再观察函数的图象使函数g（x）满足：f（

4

3

+x）≥f（x）．

解答： 解：由函数g（x）的解析式易知g（-x）=-g（x），故g（x）为奇函数，所以图象关于原点对称，
先画x＞0的图象：
当0≤x≤(

1

3

)m时，g（x）=(

1

3

)m-x-(

1

3

)m=x，
当x≥(

1

3

)m时，g（x）=x-(

1

3

)m-(

1

3

)m=x-2(

1

3

)m，
作出x≥0时的图象后，再关于原点对称作出x＜0时的图象．
图象如下图：

其中A、B两点的横坐标分别为-(

1

3

)m、3(

1

3

)m，
∵函数g（x）是实数集R上的

4

3

阶高升函数，
∴要使对任意的x∈R，都有f（

4

3

+x）≥f（x），只要使得A、B两点的横坐标的差不超过

4

3

，
∴3(

1

3

)m-（-(

1

3

)m）≤

4

3

，
∴4(

1

3

)m≤

4

3

，∴(

1

3

)m≤

1

3

，
∴m≥1．
故答案为：m≥1

点评：此题属于新定义的创新题，理解题中所给的定义是解题的关键；结合图形做题，体现了数形结合的思想．