Question

18．已知函数f（x）=ax²-2ax+2+b（a≠0）在[2，3]上有最大值5和最小值2，则a，b的值为$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 求出二次函数的对称轴，对a分a＞0和a＜0两类，判断出f（x）在[2，3]上的单调性，求出函数的最值，列出方程组，求出a，b的值，

解答 解：函数f（x）=ax²-2ax+2+b的对称轴是x=1，
当a＞0时，
函数f（x）在[2，3]上是增函数，
根据题意得
∴$\left\{\begin{array}{l}{4a-4a+2+b=2}\\{9a-6a+2+b=5}\end{array}\right.$，解得 $\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=0}\end{array}\right.$，
当a＜0时，函数f（x）在[2，3]上是减函数，
根据题意得$\left\{\begin{array}{l}{4a-4a+2+b=5}\\{9a-6a+2+b=2}\end{array}\right.$，解得 $\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
故答案为：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$．

点评 本题考查二次函数最值的求法，解题的关键是根据二次函数的对称轴与区间的位置关系判断出函数的单调性，从而确定出函数的最值在何处取到，建立起关于参数的方程求出参数的值．