Question

1．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点F到双曲线$\frac{x^2}{3}-{y^2}$=1的渐近线的距离为1，过焦点F且斜率为k的直线与抛物线C交于A，B两点，若$\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{FB}$，则k=$±2\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 先根据抛物线C的焦点F到双曲线的渐近线距离求出p的值，再利用直线方程与抛物线C的方程联立，消去x，求出y的值，利用 $\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{FB}$，得出y_A与y_B的关系式，从而求出k的值．

解答 解：抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F（$\frac{p}{2}$，0），
且F到双曲线$\frac{x^2}{3}-{y^2}$=1的渐近线y=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$x的距离为1，
即渐近线的方程为$\sqrt{3}$x-3y=0，
∴d=$\frac{|\frac{\sqrt{3}}{2}p|}{\sqrt{3+9}}$=1，
解得p=4；即焦点坐标F（2，0），
∴过焦点F斜率为k的直线为y=k（x-2），
与抛物线C：y²=8x联立，消去x，得y²=8（$\frac{y}{k}$+2），
整理，得ky²-8y-16k=0，
解得y=$\frac{4±4\sqrt{{k}^{2}+1}}{k}$．
又∵$\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{FB}$，
∴（4-x_A，-y_A）=2（x_B-4，y_B），
∴y_A=-2y_B；
当k＞0时，y_A＞0，y_B＜0，
∴$\frac{4+4\sqrt{{k}^{2}+1}}{k}$=2•（-$\frac{4-4\sqrt{{k}^{2}+1}}{k}$），
解得k=2$\sqrt{2}$；
当k＜0时，y_A＜0，y_B＞0，
∴-$\frac{4+4\sqrt{{k}^{2}+1}}{k}$=2•$\frac{4-4\sqrt{{k}^{2}+1}}{k}$，
解得k=-2$\sqrt{2}$；
∴k=$±2\sqrt{2}$．
故答案为：$±2\sqrt{2}$．

点评 本题考查了双曲线与抛物线的综合应用问题，也考查了直线与圆锥曲线的综合应用问题，考查学生的转化能力，综合性较强，有一定的难度．