Question

如图，设平面α∩β=EF，AB⊥α，CD⊥α，垂足分别为B，D，若增加一个条件，就能推出BD⊥EF．现有①AC⊥β；②AC∥EF③AC与CD在β内的射影在同一条直线上．那么上述几个条件中能成为增加条件的序号是

 

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Answer 1

考点：空间中直线与平面之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离

分析：要增加一个条件，推出BD⊥EF，由AB⊥α，CD⊥α，则平面ABDC与EF垂直，需要加一个条件能够使得线与面垂直，把几个选项逐个分析，得到结论．
①由线面垂直的性质和判定，即可得到EF垂直于平面ABDC；
②若AC∥EF则AC∥平面α所以BD∥AC所以BD∥EF；
③运用线面垂直的判定和性质，即可证得EF垂直于平面ABDC．

解答： 解：∵AB⊥α，CD⊥α，∴AB∥CD，AB⊥EF，CD⊥EF
要增加一个条件，推出BD⊥EF，则必有平面ABDC与EF垂直，
①AC⊥β，则AC⊥EF，则EF垂直于平面ABDC；
②AC∥EF，由线面平行的判定和性质得到，BD∥EF，推不出EF垂直于平面ABDC；
③AC与CD在β内的射影在同一条直线上，
∵CD⊥α且EF?α∴EF⊥CD．
∴EF与CD在β内的射影垂直，
∵AC与CD在β内的射影在同一条直线上∴EF⊥AC，
∵AC∩CD=C，AC?平面ACBD，CD?平面ACBD，∴EF⊥平面ACBD，
∵BD?平面ACBD，
∴BD⊥EF．
故答案为：①③．

点评：本题考查空间中直线与平面的位置关系，解题的关键是利用线面垂直的判定和性质来说清楚题目的对错，属于中档题．