Question

15．如图，在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD为正方形，AE⊥平面CDE，已知AE=DE=2，F为线段DE的中点．
（Ⅰ）求证：BE∥平面ACF；
（Ⅱ）求平面BCF与平面BEF夹角的余弦值．

Answer 1

分析 （I）连接BD和AC交于O，连接OF，利用中位线定理得出OF∥BE，故而BE∥平面ACF；
（II）求出CD，以D为原点建立坐标系，求出两平面的法向量，计算法向量的夹角即可得出二面角的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）连接BD和AC交于O，连接OF，
∵ABCD为正方形，
∴O为BD中点，又F为DE中点，
∴OF∥BE，又∵BE?平面ACF，OF?平面ACF，
∴BE∥平面ACF．
（Ⅱ）解：∵AE⊥平面CDE，CD?平面CDE，
∴AE⊥CD，
∵ABCD为正方形，∴CD⊥AD，又∵AE∩AD=A，AD，AE?平面DAE，
∴CD⊥平面DAE，∵DE?平面DAE，
∴CD⊥DE，
以D为原点，以DE为x轴，以DC为y轴，以平面CDE的垂线为z轴建立如图所示的坐标系，
则E（2，0，0），F（1，0，0），A（2，0，2），D（0，0，0），
∵AE⊥平面CDE，DE?平面CDE，
∴AE⊥DE，∵AE=DE=2，∴$AD=2\sqrt{2}$，
∵ABCD为正方形，∴$CD=2\sqrt{2}$，∴$C（0，2\sqrt{2}，0）$，
由ABCD为正方形可得：$\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}=（2，2\sqrt{2}，2）$，∴$B（2，2\sqrt{2}，2）$，
设平面BEF的法向量为$\overrightarrow{n_1}=（{x_1}，{y_1}，{z_1}）$，$\overrightarrow{BE}=（0，-2\sqrt{2}，-2）$，$\overrightarrow{FE}=（1，0，0）$
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{BE}=0}\\{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{FE}=0}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{-2\sqrt{2}{y}_{1}-2{z}_{2}=0}\\{{x}_{1}=0}\end{array}\right.$，
令y₁=1，则${z_1}=-\sqrt{2}$，∴$\overrightarrow{n_1}=（0，1，-\sqrt{2}）$，
设平面BCF的法向量为$\overrightarrow{n_2}=（{x_2}，{y_2}，{z_2}）$，$\overrightarrow{BC}=（-2，0，-2）$，$\overrightarrow{CF}=（1，-2\sqrt{2}，0）$
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{BC}=0}\\{\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{CF}=0}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{-2{x}_{2}-2{z}_{2}=0}\\{{x}_{2}-2\sqrt{2}{y}_{2}=0}\end{array}\right.$，
令y₂=1，则${x_2}=2\sqrt{2}$，${z_2}=-2\sqrt{2}$，∴$\overrightarrow{n_2}=（2\sqrt{2}，1，-2\sqrt{2}）$，
设二面角C-BF-E的平面角的大小为θ，
则$cosθ=cos（π-＜\overrightarrow{n_1}，\overrightarrow{n_2}＞）=-cos＜\overrightarrow{n_1}，\overrightarrow{n_2}＞=\frac{{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}}}{{|\overrightarrow{{n_1}|}•\overrightarrow{|{n_2}|}}}=-\frac{1+4}{{\sqrt{3}×\sqrt{17}}}=-\frac{{5\sqrt{51}}}{51}$，
∴二面角C-BF-E的平面角的余弦值为$-\frac{{5\sqrt{51}}}{51}$．

点评 本题考查了线面平行的判定，空间向量与空间角的计算，属于中档题．