Question

16．若椭圆$\frac{{x}^{2}}{6}$$+\frac{{y}^{2}}{4}$=1的两个焦点为F₁，F₂，P是椭圆上一点，若PF₁⊥PF₂，则△PF₁F₂的面积为4．

Answer 1

分析 根据椭圆的定义和勾股定理建立关于m、n的方程组，平方相减即可求出|PF₁|•|PF₂|=8，结合直角三角形的面积公式，可得△PF₁F₂的面积S=$\frac{1}{2}$|PF₁|•|PF₂|，得到本题答案．

解答 解：∵椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{6}$$+\frac{{y}^{2}}{4}$=1，
∴a²=6，b²=4，可得c²=a²-b²=2，
即a=$\sqrt{6}$，c=$\sqrt{2}$，
设|PF₁|=m，|PF₂|=n，
∵PF₁⊥PF₂，得∠F₁PF₂=90°，
则有m+n=2a=2$\sqrt{6}$，m²+n²=4c²=8，
即（m+m）²=m²+n²+2mn，
则24=8+2mn
得2mn=16，即mn=8，
∴|PF₁|•|PF₂|=8．
∴△PF₁F₂的面积S=$\frac{1}{2}$|PF₁|•|PF₂|=$\frac{1}{2}$×8=4．
故答案为：4．

点评 本题给出椭圆的焦点三角形为直角三角形，求它的面积，着重考查了勾股定理、椭圆的定义和简单几何性质等知识．