Question

1．已知函数f（x）=alnx+（x-c）|x-c|，a＜0，c＞0
（Ⅰ）当$a=-\frac{3}{4}，c=\frac{1}{4}$时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设函数f（x）的图象在点P（x₁，f（x₁）），Q（x₂，f（x₂））两处的切线分别为l₁，l₂．若${x_1}=\sqrt{-\frac{a}{2}}，{x_2}=c$，且l₁⊥l₂，求实数c的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）根据垂直关系求出a的范围，令$\sqrt{-8a}=t$，则$a=-\frac{t^2}{8}，t＞2$，表示出c，根据函数的单调性求出c的最小值即可．

解答 解：函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}alnx+{（x-c）^2}，x≥c\\ alnx-{（x-c）^2}，0＜x＜c\end{array}\right.$，求导数$f'（x）=\left\{\begin{array}{l}\frac{{2{x^2}-2cx+a}}{x}，x≥c\\ \frac{{-2{x^2}+2cx+a}}{x}，0＜x＜c\end{array}\right.$，
（Ⅰ）当$a=-\frac{3}{4}，c=\frac{1}{4}$时，$f'（x）=\left\{\begin{array}{l}\frac{{8{x^2}-2x-3}}{4x}，x≥\frac{1}{4}\\ \frac{{-8{x^2}+2x-3}}{4x}，0＜x＜\frac{1}{4}\end{array}\right.$，
若$0＜x＜\frac{1}{4}$，则$f'（x）=\frac{{-8{x^2}+2x-3}}{4x}＜0$恒成立，
所以f（x）在$（0，\frac{1}{4}）$上单调递减；若$x≥\frac{1}{4}$，则$f'（x）=\frac{（2x+1）（4x-3）}{4x}$，
令f'（x）=0，解得$x=\frac{3}{4}$或$x=-\frac{1}{2}$（舍），
当$\frac{1}{4}≤x＜\frac{3}{4}$时，f'（x）＜0，f（x）在$[\frac{1}{4}，\frac{3}{4}）$上单调递减；
当$x＞\frac{3}{4}$时，f'（x）＞0，f（x）在$（\frac{3}{4}，+∞）$上单调递增．
所以函数f（x）的单调递减区间是$（0，\frac{3}{4}）$，单调递增区间是$（\frac{3}{4}，+∞）$…（5分）
（Ⅱ）由l₁⊥l₂知，$f'（\sqrt{-\frac{a}{2}}）f'（c）=-1$，而$f'（c）=\frac{a}{c}$，则$f'（\sqrt{-\frac{a}{2}}）=-\frac{c}{a}$，
若$\sqrt{-\frac{a}{2}}≥c$，则$f'（\sqrt{-\frac{a}{2}}）=\frac{{2（-\frac{a}{2}）-2c\sqrt{-\frac{a}{2}}+a}}{{\sqrt{-\frac{a}{2}}}}=-2c$
 所以$-2c=-\frac{c}{a}$，解得$a=\frac{1}{2}$，不符合题意…（7分）
故$\sqrt{-\frac{a}{2}}＜c$，则$f'（\sqrt{-\frac{a}{2}}）=\frac{{-2（-\frac{a}{2}）+2c\sqrt{-\frac{a}{2}}+a}}{{\sqrt{-\frac{a}{2}}}}=-\sqrt{-8a}+2c=-\frac{c}{a}$
整理得$c=\frac{{a\sqrt{-8a}}}{2a+1}$，由c＞0，a＜0得$a＜-\frac{1}{2}$…（10分）
令$\sqrt{-8a}=t$，则$a=-\frac{t^2}{8}，t＞2$，所以$c=\frac{{-\frac{t^2}{8}•t}}{{-\frac{t^2}{4}+1}}=\frac{t^3}{{2{t^2}-8}}$
设$g（t）=\frac{t^3}{{2{t^2}-8}}，t＞2$，当$2＜t＜2\sqrt{3}$时，g'（t）＜0，g（t）在$（2，2\sqrt{3}）$上单调递减；
当$t＞2\sqrt{3}$时，g'（t）＞0，g（t）在$（2\sqrt{3}，+∞）$上单调递增
所以函数g（t）的最小值为$g（2\sqrt{3}）=\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$，故实数c的最小值为$\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$…（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．