Question

在△ABC中，已知sin²A+sin²B=sin²C+sinAsinB．
（1）求角C；
（Ⅱ）若c=4，求a+b的最大值．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：计算题,三角函数的求值

分析：（1）由正弦定理可将已知sin²A+sin²B=sin²C+sinAsinB化简得a²+b²=c²+ab，从而由余弦定理求出cosC，求出角C的值．
（Ⅱ）若c=4，由（1）得，16=a²+b²-ab=（a+b）²-3ab，又ab≤(

a+b

2

)2，所以16≥

1

4

(a+b)2，从而a+b≤8．

解答： 解：（Ⅰ）由sin²A+sin²B=sin²C+sinAsinB，得a²+b²=c²+ab，
所以，cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

1

2

，角C=

π

3

．
（Ⅱ）因为c=4，所以16=a²+b²-ab=（a+b）²-3ab，
又ab≤(

a+b

2

)2，所以16≥

1

4

(a+b)2，从而a+b≤8，其中a=b时等号成立．
故a+b的最大值为8．

点评：本题主要考察正弦定理，余弦定理的应用，属于中档题．