Question

已知二次函数h(x)=ax²+bx+c(其中c<3)，其导函数的图象如图，f(x)=6lnx+h(x)

（1）求f(x)在x=3处的切线斜率；
（2）若f(x)在区间(m,m+)上是单调函数，求实数m的取值范围；
（3）若对任意k∈[-1,1]，函数y=kx(x∈(0,6])的图象总在函数y＝f(x)图象的上方，求c的取值范围

Answer 1

（1）0；（2）实数m的取值范围为；（3）c的取值范围

试题分析：（1）首先根据导函数的图象可得导函数的解析式，从而求得中的，然后再求的导数，由此可得f(x)在点处的切线斜率 （2）,这里并不含参数，可以求出它的单调区间 要使 f(x)在区间(m,m+)上是单调函数，只需(m,m+)在的单调区间内即可，然后通过解不等式即得m的取值范围；
（3）函数y=kx(x∈(0,6])的图象总在函数y＝f(x)图象的上方，则恒成立 分离参数得，在恒成立，又因为k∈[-1,1]，所以 
然后利用导数求的最大值，再解不等式即可求得c的取值范围
试题解析：（1） 
又的图象过点（0，－8），（4，0），所以，
于是，
故，
∴f(x)在点处的切线斜率为              3分
（2）由，列表如下：

x	(0,1)	1	(1, 3)	3	(3,+∞)
	+	0	－	0	+
f(x)	单调递增	极大值	单调递减	极小值	单调递增

所以f(x)的单调递增区间为（0，1）和（3，+∞）,f(x)的单调递减区间为(1,3)
因为是单调函数，

故实数m的取值范围为                    8分
（3）由题意知：恒成立
在恒成立
恒成立       9分
令 

令则
内递减，
时，在时在内递增，
所以当
即，又内递增
         12分
恒成立，
                14分