Question

20．三棱锥D-ABC内接于表面积为100π的球面，DA⊥平面ABC，且AB=8，AC⊥BC，∠BAC=30°，则三棱锥D-ABC的体积为16$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由已知得棱锥D-ABC的四个顶点在以AC=4$\sqrt{3}$、BC=4、AD为长、宽、高的长方体的外接球上，球的半径为5，由此能求出三棱锥D-ABC的体积．

解答 解：∵三棱锥D-ABC内接于表面积为100π的球面，DA⊥平面ABC，且AB=8，AC⊥BC，∠BAC=30°，
∴三棱锥D-ABC的四个顶点在以AC=4$\sqrt{3}$、BC=4、AD为长、宽、高的长方体的外接球上，球的半径为5
∴AC²+BC²+AD²=（2×5）²，
即48+16+AD²=100，解得AD=6，
∴三棱锥D-ABC的体积：
V_D-ABC=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×4×4\sqrt{3}×6$=16$\sqrt{3}$．
故答案为：16$\sqrt{3}$．

点评 本题考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．