Question

如图，在四棱锥P—ABCD中,PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，PA＝AB＝4，G为PD的中点，E是AB的中点.

（Ⅰ）求证：AG∥平面PEC；  
（Ⅱ）求点G到平面PEC的距离．

Answer 1

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）

试题分析：（Ⅰ）要证明一条直线和一个平面平行，只需在面内找一条直线与之平行，如果找不到，可将这条直线平移到平面内，取中点，连接,则是的中位线，则有,∥，又∥,,∴可证四边形是平行四边形，从而∥，可证∥面；
（Ⅱ）点到平面的距离指的是点到平面垂线段的长度，如果垂足不好确定，可考虑四面体的等体积转换，由（Ⅰ）知∥面，∴点和点到面的距离相等，设点到平面的距离为
由，可求.

试题解析：（Ⅰ）证明：取PC的中点F,连接GF,则∥又∥,且
∴,∥,四边形GAEF是平行四边形 ∴∥------4分
又，   ∴∥面 .    6分
（Ⅱ）由∥面,知点和点到面的距离相等,设点到平面的距离为，
∴ ，      9分
又， ,
∴      10分
又 ，∴，
即，
∴，∴ G点到平面PEC的距离为．         12分