Question

如图，以ox轴为始边作角α与β（0＜β＜α＜π），它们终边分别与单位圆相交于点P，Q，已知点P的坐标为（-

3

5

，

4

5

）
（1）求

sin2α+cos2α+1

1+tanα

的值；
（2）若OP⊥OQ，求

sin(α+β)

2 cos( π 4 +β)

．

Answer 1

考点：同角三角函数基本关系的运用,任意角的三角函数的定义

专题：三角函数的求值

分析：（1）先利用倍角公式将sin2α，cos2α化为单角的三角函数，利用同角三角函数的基本关系将tanα用sinα，cosα表示，再根据三角函数的定义可求得；
（2）由OP⊥OQ可得α，β的关系为α-β=

π

2

，将所求转化为关于α的三角函数求值．

解答： 解：由已知可得，cosα=-

3

5

，sinα=

4

5

，
所以（1）

sin2α+cos2α+1

1+tanα

=

2sinαcosα+2cos2α

1+ sinα cosα

=

2cos2α(sinα+cosα)

cosα+sinα

=2cos²α=

18

25

；
（2）若OP⊥OQ，则又0＜β＜α＜π，所以α-β=

π

2

，即β=α-

π

2

，
所以

sin(α+β)

2 cos( π 4 +β)

=

sin(2α- π 2 )

2 cos(α- π 4 )

=

-cos2α

cosα+sinα

=

-2cos2α+1

cosα+sinα

=

18 25 +1

- 3 5 + 4 5

=

43 25

1 5

=

43

5

．

点评：本题考查了三角函数的定义及基本关系式，诱导公式，二倍角公式，两角和的正弦公式等，记住基本的三角恒等变形式是关键．