Question

14．如图边长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分别是CC₁，B₁C₁的中点．
（1）证明；A₁N∥平面AMD₁；
（2）求二面角M-AD₁-D的余弦值．

Answer 1

分析 （1）建立坐标系，求出平面AD₁M的法向量$\overrightarrow{n}$和$\overrightarrow{{A}_{1}N}$的坐标，通过证明$\overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{{A}_{1}N}$即可得出结论；
（2）计算两个半平面的法向量的夹角，得出结论．

解答 证明：（1）以D为原点，以DA，DC，DD₁为轴建立空间坐标系，
则A₁（2，0，2），N（1，2，2，），M（0，2，1），A（2，0，0），D₁（0，0，2），
∴$\overrightarrow{{A}_{1}N}$=（-1，2，0），$\overrightarrow{AM}$=（-2，2，1），$\overrightarrow{A{D}_{1}}$=（-2，0，2），
设平面AMD₁的法向量为$\overrightarrow{n}$（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AM}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{D}_{1}}=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2x+2y+z=0}\\{-2x+2z=0}\end{array}\right.$，令x=1得$\overrightarrow{n}$=（1，$\frac{1}{2}$，1），
∴$\overrightarrow{{A}_{1}N}•\overrightarrow{n}$=-1+1+0=0，∴$\overrightarrow{{A}_{1}N}⊥\overrightarrow{n}$，
又A₁N?平面AMD₁，
∴A₁N∥平面AMD₁．
（2）∵DC⊥平面ADD₁，
∴$\overrightarrow{m}$=（0，1，0）是平面ADD₁的一个法向量，
cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\frac{1}{2}}{1×\frac{3}{2}}$=$\frac{1}{3}$，
∴二面角M-AD₁-D的余弦值为$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了线面平行的判定，空间向量与空间角的计算，属于中档题．