Question

15．设a，b，c∈R⁺，求$\frac{a}{3b+c}$+$\frac{b}{c+2a}$+$\frac{c}{2a+3b}$的最小值$\frac{\sqrt{6}}{6}$+$\frac{\sqrt{3}}{3}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{7}{6}$．

Answer 1

分析 先设设3b+c=x，c+2a=y，2a+3b=z．解得a，b，c的值，再代入，根据基本不等式即可求出．

解答 解：设3b+c=x，c+2a=y，2a+3b=z．解得，a=$\frac{1}{4}$（y+z-x），b=$\frac{1}{6}$（x+z-y），c=$\frac{1}{2}$（x+y-z），
则$\frac{a}{3b+c}$+$\frac{b}{c+2a}$+$\frac{c}{2a+3b}$=$\frac{y+z-x}{4x}$+$\frac{x+z-y}{6y}$+$\frac{x+y-z}{2z}$，
=$\frac{y}{4x}$+$\frac{z}{4x}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{x}{6y}$+$\frac{z}{6y}$-$\frac{1}{6}$+$\frac{x}{2z}$+$\frac{y}{2z}$-$\frac{1}{2}$，
=（$\frac{y}{4x}$+$\frac{x}{6y}$）+（$\frac{z}{6y}$+$\frac{y}{2z}$）+（$\frac{z}{4x}$+$\frac{x}{2z}$）-$\frac{7}{6}$，
≥2$\sqrt{\frac{y}{4x}•\frac{x}{6y}}$+2$\sqrt{\frac{z}{6y}•\frac{y}{2z}}$+2$\sqrt{\frac{z}{4x}•\frac{x}{2z}}$-$\frac{7}{6}$当且仅当2x²=3y²=z²取等号，
=$\frac{\sqrt{6}}{6}$+$\frac{\sqrt{3}}{3}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{7}{6}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{6}}{6}$+$\frac{\sqrt{3}}{3}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{7}{6}$．

点评 本题考查了基本不等式的应用，关键是换元，属于中档题．