Question

7．若曲线f（x）=e^x+$\frac{m}{x}$在（-∞，0）上存在垂直y轴的切线，则实数m的取值范围为（　　）

• A． （-∞，$\frac{4}{{e}^{2}}$]
• B． （0，$\frac{4}{{e}^{2}}$]
• C． （-∞，4]
• D． （0，4]

Answer 1

分析 由题意可得f′（x）=0在（-∞，0）上有解，即为m=x²e^x在（-∞，0）上有解．设g（x）=x²e^x，求出导数，单调区间，可得极大值和最大值，即可得到m的取值范围．

解答 解：由曲线f（x）=e^x+$\frac{m}{x}$在（-∞，0）上存在垂直y轴的切线，
可得f′（x）=e^x-$\frac{m}{{x}^{2}}$=0在（-∞，0）上有解，
得m=x²e^x在（-∞，0）上有解．
设g（x）=x²e^x，g′（x）=（2x+x²）e^x，
由x＜0，可得当x＜-2时，g′（x）＞0，g（x）递增；
当-2＜x＜0时，g′（x）＜0，g（x）递减．
可得g（x）在x=-2处取得极大值，且为最大值4e^-2．
且当x＜0时，g（x）＞0，
即有m∈（0，$\frac{4}{{e}^{2}}$]．
故选：B．

点评 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查转化思想的运用，以及构造函数法，考查运算能力，属于中档题．