Question

6．已知坐标原点为O，过抛物线y²=4x的焦点F作一直线l，与抛物线交于A，B两点，若|$\overrightarrow{AB}$|=6，则$\overrightarrow{FA}$$•\overrightarrow{FB}$=（　　）

• A． -6
• B． -2
• C． 2
• D． 6

Answer 1

分析 先设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），并将直线设为x=my+1，代入抛物线y²=4x，运用抛物线定义和韦达定理、向量的数量积公式，即可得出结论．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
抛物线y²=4x焦点坐标为F（1，0），准线方程为x=-1
依据抛物线定义，|AB|=x₁+x₂+2=6，∴x₁+x₂=4
设直线方程为x=my+1代入y²=4x
得y²-4my-4=0
∴y₁y₂=-4，y₁+y₂=4m，
∴x₁x₂=（my₁+1）（my₂+1）=1
∴$\overrightarrow{FA}$$•\overrightarrow{FB}$=（x₁-1，y₁）•（x₂-1，y₂）=x₁x₂-（x₁+x₂）+1+y₁y₂=1-4+1-4=-6
故选：A．

点评 本题考察了抛物线的定义和直线与抛物线的关系，解题时要认真体会抛物线定义和韦达定理在解题中的重要应用．