Question

已知函数f（x）=kx³-3x²+3
（1）当k=0时，求函数f（x）的图象与直线y=x-1所围封闭图形的面积；
（2）当k＞0时，求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,定积分在求面积中的应用

专题：导数的综合应用

分析：（1）当k=0时，函数f（x）=-3x²+3，由-3x²+3=x-1，得x=-

4

3

或x=1，从而求出封闭图形的面积；
（2）当k＞0时，求出函数的导函数为：f′（x）=3kx²-6x=3kx（x-

2

k

），分别解不等式求出单调区间即可．

解答： 解：（1）当k=0时，
函数f（x）=-3x²+3，
由-3x²+3=x-1，
得x=-

4

3

或x=1，
所以所求封闭图形的面积
s=

∫

1 - 4 3

(-3x2+3-x+1)dx=

∫

1 - 4 3

(-3x2-x+4)dx
=（-x³-

1

2

x²+4x）

|

1 - 4 3

=

343

54

；
（2）当k＞0时，
f′（x）=3kx²-6x=3kx（x-

2

k

），
 由f′（x）＞0，得x＜0或x＞

2

k

，
由f′（x）＜0得0＜x＜

2

k

，
∴f（x）的单调增区间为(-∞，0)与(

2

k

，+∞)，单调减区间为(0，

2

k

)．

点评：本题考察了函数的单调性，导数的应用，是一道中档题．