Question

如图所示的几何体，是将高为2、底面半径为1的圆柱沿过旋转轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右水平平移后形成的封闭体．O₁，O₂，O₂′分别为AB，BC，DE的中点，F为弧AB的中点，G为弧BC的中点．则异面直线AF与GO₂′所成的角的余弦值为

 

．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角

专题：空间角

分析：连接AF、FB、BG、GC，由圆的性质可知，G、B、F三点共线，且△AFB≌△CGB，可得AF∥CG，则∠CGO₂′即为所求的角或其补角，然后利用余弦定理在三角形CGO_2′求解即可．

解答： 解：如图，连接AF、FB、BG、GC，∵F为半圆弧AFB的中点，G为半圆弧BGC的中点，
由圆的性质可知，G、B、F三点共线，且AF=CG，FB=GB，AB=BC，
∴△AFB≌△CGB，∴AF∥CG，则∠CGO₂′即为所求的角或其补角，
又∵半径为1，高为2，且△AFB，△CGB都是等腰Rt△，
∴CG=

2

，CO₂′=GO2′=

1+22

=

5

，
∴在△CGO₂′中，cos∠CGO₂′=

5 2+ 2 2- 5 2

2 2 • 5

=

10

10

，
即异面直线AF与GO₂′所成的角余弦值

10

10

．
故答案为：

10

10

．

点评：这个题有些打破传统，是利用圆的性质来完成异面直线所成的角向相交直线所成角的转化，然后在三角形中利用余弦定理求角．