Question

已知A、B、C是单位圆上三个互不相同的点，若|

AB

|=|

AC

|，则

AB

•

AC

的最小值是

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：如图所示，取

OA

=（1，0），不妨设B（cosθ，sinθ），（θ∈（0，π））．由于|

AB

|=|

AC

|，可得C（cosθ，-sinθ）．再利用数量积运算、二次函数的单调性、余弦函数的单调性即可得出．

解答： 解：如图所示，取

OA

=（1，0），不妨设B（cosθ，sinθ），（θ∈（0，π））．
∵|

AB

|=|

AC

|，∴C（cosθ，-sinθ）．
∴

AB

•

AC

=（cosθ-1，sinθ）•（cosθ-1，-sinθ）
=（cosθ-1）²-sin²θ
=2(cosθ-

1

2

)2-

1

2

，
当且仅当cosθ=

1

2

，即θ=

π

3

时，上式取得最小值-

1

2

．
即

AB

•

AC

的最小值是-

1

2

．
故答案为：-

1

2

．

点评：本题考查了数量积运算、二次函数的单调性、余弦函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于难题．