Question

【题目】已知椭圆的离心率为，且以椭圆的两焦点和短轴的一个端点为顶点的三角形的周长恰为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）动直线与抛椭圆相交于，两点，问：在轴上是否存在定点（其中，使得向量与向量共线（其中为坐标原点）？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，.

【解析】

（1）根据椭圆的焦点三角形的周长为，再由离心率得出关系，求出值，即可求出结论；

（2）根据与角平分线共线，又与共线，得到轴为的角平分线，转化为的倾斜角互补，斜率和为零，联立直线和椭圆方程，运用根与系数，将斜率和转化为关系，即可求解.

（1）椭圆的离心率为，

即有，

椭圆的两焦点和短轴的一个端点为顶点的三角形的周长恰为，

可得，解得，，

则椭圆的方程为；

（2）在轴上假设存在定点（其中，

使得与向量共线，

由，均为单位向量，且它们的和向量与共线，

可得轴平分，

设，，，，

联立和，

得，

△恒成立.

，①

设直线、的斜率分别为，，

则由得，

，

，②

联立①②，得，

故存在满足题意，

综上，在轴上存在一点，使得轴平分，

即与向量共线.