Question

已知， ，，其中e是无理数且e=2.71828 ，.

（1）若，求的单调区间与极值；

（2）求证：在（1）的条件下，；

（3）是否存在实数a，使的最小值是？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.

 

Answer 1

（1）的单调递减区间为（0，1），单调递增区间为（1，e），的极小值为;（2）证明见解析；（3）存在实数，使得在上的最小值为-1．理由见解析.

【解析】

试题分析：（1）将代入后对函数求导，可得，令，可解得函数的单调区间，从而判断出极值; (2) 构造函数，由知，故不等式成立；（3）假设存在实数a，使（）有最小值-1, ,对进行讨论，注意，当时，，无最小值；当时，，得；当时，，，得（舍去）,存在实数，使得在上的最小值为-1．

【解析】
（1）当a=1时，，， （1分）

令，得x=1.

当时，，此时单调递减； （2分）

当时，，此时单调递增． （3分）

所以的单调递减区间为（0，1），单调递增区间为（1，e），的极小值为 （4分）

（2）由（1）知在上的最小值为1．（5分）

令，，所以．（6分）

当时，，在上单调递增， （7分）

所以.

故在（1）的条件下，．（8分）

（3）假设存在实数a，使（）有最小值-1．

因为， （9分）

①当时，，在上单调递增，此时无最小值； （10分）

②当时，当时，，故在（0，a）单调递减；当时，，故在（a，e）单调递增； （11分）

所以，得，满足条件； （12分）

③当时，因为，所以，故在上单调递减.

，得（舍去）； （13分）

综上，存在实数，使得在上的最小值为-1．（14分）

考点：1.导数与函数的单调性；2.导数的运算.