已知甲.乙两个容器.甲容器容量为x.装满纯酒精.乙容器容量为z.其中装有体积为y的水．现将甲容器中的液体倒入乙容器中.直至甲容器中液体倒完或乙容器盛满.搅拌使乙容器中两种液体充分混合.再将乙容器中的液体倒入甲容器中直至倒满.搅拌使甲容器中液体充分混合.如此称为一次操作.假设操作过程中溶液体积变化忽略不计．设经过n(n∈N*)次� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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12．已知甲、乙两个容器，甲容器容量为x，装满纯酒精，乙容器容量为z，其中装有体积为y的水（x，y＜z，单位：L）．现将甲容器中的液体倒入乙容器中，直至甲容器中液体倒完或乙容器盛满，搅拌使乙容器中两种液体充分混合，再将乙容器中的液体倒入甲容器中直至倒满，搅拌使甲容器中液体充分混合，如此称为一次操作，假设操作过程中溶液体积变化忽略不计．设经过n（n∈N^*）次操作之后，乙容器中含有纯酒精a_n（单位：L），下列关于数，列{a_n}的说法正确的是（　　）

	A．	当x=y=a时，数列{a_n}有最大值$\frac{a}{2}$
	B．	设b_n=a_n+1-a_n（n∈N^*），则数列{b_n}为递减数列
	C．	对任意的n∈N^*，始终有${a_n}≤\frac{xy}{z}$
	D．	对任意的n∈N^*，都有${a_n}≤\frac{xy}{x+y}$

分析对x，y，z的大小关系进行讨论，得出剩余酒精浓度变化，得出结论．

解答解：对于A，若x+y＞z，每次倾倒后甲容器都有剩余，故a_n＜$\frac{a}{2}$，故A错误；
对于B，若x+y=z，则每次操作后乙容器所含酒精都为$\frac{x}{2}$，故B错误；
对于C，若x=1，y=1，z=3，则a₁=$\frac{1}{2}$，$\frac{xy}{z}$=$\frac{1}{3}$，故a₁＞$\frac{xy}{z}$，故C错误；
对于D，当n→+∞时，甲乙两容器浓度趋于相等，当x+y≤z时，a_n=$\frac{xy}{x+y}$，
当x+y＞z时，a_n＜$\frac{xy}{x+y}$，故D正确．
故选D．

点评本题考查了数列的应用，属于中档题．

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