Question

（本题满分分）已知，函数.（的图像连续不断）

（1）求的单调区间；

（2）当时，证明：存在，使；

（3）若存在均属于区间的，且，使，证明

 

Answer 1

（1）的单调递增区间是，单调递减区间是；（2）详见解析；（3）详见解析.

【解析】

试题分析：（1）求的单调区间，由于函数含有对数函数，因此求的单调区间，可用导数法，因此对函数求导得，，令，解得，列表确定单调区间；（2）当时，证明：存在，使，可转化为在上有解，可令，有根的存在性定理可知，只要在找到两个，是得即可，故本题把代入得，由（1）知在内单调递增，在内单调递减，，故，取，则，即可证出；（3）若存在均属于区间的，且，使，由（1）知的单调递增区间是，单调递减区间是，故，且在上的最小值为，而，，只有，由单调性可知，，从而可证得结论.

试题解析：（1） （1分）

令，解得 （2分）

当变化时，的变化情况如下表：

	＋	0	－
	递增	极大值	递减

 

所以，的单调递增区间是，单调递减区间是 （5分）

（2）证明：当时，，

由（1）知在内单调递增，在内单调递减．

令． （6分）

由于在内单调递增，故，即 （7分）

取，则.

所以存在，使，

即存在，使． （9分）

（说明：的取法不唯一，只要满足，且即可．）

（3）证明：由及（1）的结论知，

从而在上的最小值为， （10分）

又由，，知 （11分）

故即 （13分）

从而 （14分）

考点：函数单调性，根的存在性定理.