【题目】已知点F1、F2为双曲线(b>0)的左、右焦点,过F2作垂直于x轴的直线,在x轴上方交双曲线C于点M,且∠MF1F2=30°,圆O的方程是x2+y2=b2.
(1)求双曲线C的方程;
(2)过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线,垂足分别为P1、P2,求的值;
(3)过圆O上任意一点Q作圆O的切线l交双曲线C于A、B两点,AB中点为M,求证:|AB|=2|OM|.
【答案】(1);(2)-
;(3)见解析
【解析】
(1)解:设F2,M的坐标分别为,再通过双曲线的定义和解三角形得到双曲线C的方程为
;(2)设双曲线C上的点P(x0,y0),设两渐近线的夹角为θ,再求出
和
的值,即得
的值;(3)由题意,即证:OA⊥OB,分y0≠0和y0=0两种情况证明
,原题即得证.
(1)解:设F2,M的坐标分别为
因为点M在双曲线C上,所以,即
,所以
在Rt△MF2F1中,,
,所以
由双曲线的定义可知:
故双曲线C的方程为:
(2)解:由条件可知:两条渐近线分别为
设双曲线C上的点P(x0,y0),设两渐近线的夹角为θ,则
则点P到两条渐近线的距离分别为
因为P(x0,y0)在双曲线C:上,所以
,又
,
所以=
cos(π-θ)=-
=-
(3)证明:由题意,即证:OA⊥OB.
设A(x1,y1),B(x2,y2),切线l的方程为:x0x+y0y=2
①当y0≠0时,切线l的方程代入双曲线C中,化简得:
所以:,
又
所以
②当y0=0时,易知上述结论也成立.所以
综上,OA⊥OB,所以.
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【题目】已知函数,其中
,
,
,
,且
的最小值为
,
的图象的相邻两条对称轴之间的距离为
,
的图象关于原点对称.
(1)求函数的解析式和单调递增区间;
(2)在中,角
所对的边分别为
,且
,求
.
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【题目】如图,三棱锥中,
底面
为等边三角形,
分别是
的中点.
(1)证明:平面平面
;
(2)如何在上找一点
,使
平面
并说明理由;
(3)若,对于(2)中的点
,求三棱锥
的体积.
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【题目】如图,在四棱锥中,已知底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,AP=2,AB=2,AD=4,且E、F分别是PB、PC的中点。
(1)求三棱锥的体积;
(2)求直线EC与平面PCD所成角的大小(结果用反三角函数值表示).
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【题目】某公司为了应对金融危机,决定适当进行裁员,已知这家公司现有职工人(
,且
为10的整数倍),每人每年可创利100千元,据测算,在经营条件不变的前的提下,若裁员人数不超过现有人数的30%,则每裁员1人,留岗员工每人每年就能多创利1千元(即若裁员
人,留岗员工可多创利润
千元);若裁员人数超过现有人数的30%,则每裁员1人,留岗员工每人每年就能多创利2千元(即若裁员
人,留岗员工可多创利润
千元),为保证公司的正常运转,留岗的员工数不得少于现有员工人数的50%,为了保障被裁员工的生活,公司要付给被裁员工每人每年20千元的生活费.
(1)设公司裁员人数为,写出公司获得的经济效益
(千元)关于
的函数(经济效益=在职人员创利总额—被裁员工生活费);
(2)为了获得最大的经济效益,该公司应裁员多少人?
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【题目】上海途安型号出租车价格规定:起步费元,可行
千米;
千米以后按每千米按
元计价,可再行
千米;以后每千米都按
元计价。假如忽略因交通拥挤而等待的时间.
请建立车费
(元)和行车里程
(千米)之间的函数关系式;
注意到上海出租车的计价系统是以元为单位计价的,如:小明乘坐途安型号出租车从华师大二附中本部到浦东实验学校走路线一(路线一总长
千米)须付车费
元,走路线二(路线二总长
千米)也须付车费
元.将上述函数解析式进行修正(符号
表示不大于
的最大整数,符号
表示不小于
的最小整数);并求小明乘坐途安型号出租车从华师大二附中本部到闵行分校须付车费多少元?(注:两校区路线长
千米)
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【题目】国家质量监督检验检疫局于2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阀值与检验》国家标准.新标准规定,车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于毫克/百毫升,小于
毫克/百毫升为饮酒驾车,血液中的酒精含量大于或等于
毫克/百毫升为醉酒驾车.经过反复试验,喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”如下图,该函数近似模型如下:
.
又已知刚好过1小时时测得酒精含量值为毫克/百毫升.根据上述条件,解答以下问题:
(1)试计算喝1瓶啤酒多少小时血液中的酒精含量达到最大值?最大值是多少?
(2)试计算喝1瓶啤酒后多少小时后才可以驾车?(时间以整分钟计算)
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【题目】给定数列,记该数列前
项
中的最大项为
,即
,该数列后
项
中的最小项为
,记
,
;
(1)对于数列:3,4,7,1,求出相应的,
,
;
(2)若是数列
的前
项和,且对任意
,有
,其中
为实数,
且
,
.
(ⅰ)设,证明:数列
是等比数列;
(ⅱ)若数列对应的
满足
对任意的正整数
恒成立,求实数
的取值范围.
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【题目】某企业为提高生产质量,引入了一批新的生产设备,为了解生产情况,随机抽取了新、旧设备生产的共200件产品进行质量检测,统计得到产品的质量指标值如下表及图(所有产品质量指标值均位于区间内),若质量指标值大于30,则说明该产品质量高,否则说明该产品质量一般.
质量指标 | 频数 |
2 | |
8 | |
10 | |
30 | |
20 | |
10 | |
合计 | 80 |
(1)根据上述图表完成下列列联表,并判断是否有
的把握认为产品质量高与引人新设备有关;
新旧设备产品质量列联表
产品质量高 | 产品质量一般 | 合计 | |
新设备产品 | |||
旧设备产品 | |||
合计 |
(2)从旧设备生产的质量指标值位于区间的产品中,按分层抽样抽取6件产品,再从这6件产品中随机选取2件产品进行质量检测,求至少有一件产品质量指标值位于
的概率.
附:,
.
0.10 | 0.05 | 0.01 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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