Question

6．椭圆的四个顶点A，B，C，D构成四边形为菱形，若菱形ABCD的内切圆恰好过焦点，则椭圆离心率为（　　）

• A． $\frac{3\sqrt{5}}{2}$
• B． $\frac{3+\sqrt{5}}{8}$
• C． $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{5}+1}{4}$

Answer 1

分析 设椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，（a＞b＞0），直线AB的方程为：$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}$=1，根据菱形ABCD的内切圆恰好过焦点，可得原点O到直线AB的距离=$\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=c，又b²=a²-c²，$\frac{c}{a}$=e，联立化简即可得出．

解答 解：设椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，（a＞b＞0），
直线AB的方程为：$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}$=1，即bx+ay-ab=0，
∵菱形ABCD的内切圆恰好过焦点，
∴原点O到直线AB的距离=$\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=c，
化为a²b²=c²（a²+b²），又b²=a²-c²，$\frac{c}{a}$=e，
化为：e⁴-3e²+1=0，0＜e＜1．
解得e²=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，
e=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．
故选：C．

点评 本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、菱形的性质、点到直线距离公式、内切圆的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．