Question

【题目】如图所示，三棱柱的侧棱垂直于底面，且底面是边长为2的正三角形，，点D，E，F分别是所在棱的中点.

（1）在线段上找一点使得平面∥平面，给出点的位置并证明你的结论；

（2）在（1）的条件下，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）点与点重合，证明见解析，（2）

【解析】

（1）首先连接，.根据三角形中位线得到，根据四边形是平行四边形，得到，即证平面∥平面.

（2）首先以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系.分别求平面和平面的法向量，再代入二面角公式计算即可.

（1）点与点重合，证明如下：

连接，.

因为分别是和的中点，所以.

因为平面，平面，所以平面.

因为分别是和的中点，所以，且，

所以四边形是平行四边形，所以.

因为平面，平面，所以平面.

又因为，所以平面平面.

（2）以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴

建立如图所示的空间直角坐标系.

由（1）可得二面角即.

则，，.

所以，.

因为平面平面，所以平面的法向量即平面的法向量，

设为，则.

令，则.

因为，，.

所以，.

设平面的一个法向量为.

则，

令，则.

则.

由图易知二面角的平面角是锐角，所以余弦值为.