【题目】已知函数在
处的切线斜率为2.
(Ⅰ)求的单调区间和极值;
(Ⅱ)若在
上无解,求
的取值范围.
【答案】(Ⅰ) 单调递增区间为,单调递减区间为
和
极小值为
,极大值为
(Ⅱ)
【解析】试题分析:
(Ⅰ)结合导函数的解析式有,则
,由
得
或
.结合导函数的符号研究函数的性质可得函数
的单调递增区间为
,单调递减区间为
和
.则函数的极小值为
,极大值为
;
(Ⅱ)构造新函数,令,由题意可得
在
上恒成立.其中
,研究其分母部分,记
,由题意可得
.分类讨论:
若,则
单调递减.∴
恒成立.
若,则
在
上单调递增.而
,故与已知矛盾,舍去.
综上可知, .
试题解析:
解:(Ⅰ)∵ ,
,
∴.
∴,
.
令,解得
或
.
当变化时,
的变化情况如下表:
∴函数的单调递增区间为
,单调递减区间为
和
.
∴函数的极小值为,极大值为
;
(Ⅱ)令.
∵在
上无解,
∴在
上恒成立.
∵,记
,
∵在
上恒成立,
∴在
上单调递减.
∴.
若,则
,
,
∴.
∴单调递减.
∴恒成立.
若,则
,存在
,使得
,
∴当时,
,即
.
∴在
上单调递增.
∵,
∴在
上成立,与已知矛盾,故舍去.
综上可知, .
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在平面直角坐标系中, 为坐标原点,
、
是双曲线
上的两个动点,动点
满足
,直线
与直线
斜率之积为2,已知平面内存在两定点
、
,使得
为定值,则该定值为________
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某市一次全市高中男生身高统计调查数据显示:全市名男生的身高服从正态分布
.现从某学校高三年级男生中随机抽取
名测量身高,测量发现被测学生身高全部介于
和
之间,将测量结果按如下方式分组:
,
,…,
,得到的频率分布直方图如图所示.
(Ⅰ)试评估该校高三年级男生在全市高中男生中的平均身高状况;
(Ⅱ)求这名男生身高在
以上(含
)的人数;
(Ⅲ)在这名男生身高在
以上(含
)的人中任意抽取
人,该
人中身高排名(从高到低)在全市前
名的人数记力
,求
的数学期望.
参考数据:若,则
,
,
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,椭圆:
的焦距与椭圆
:
的短轴长相等,且
与
的长轴长相等,这两个椭圆在第一象限的交点为
,直线
经过
在
轴正半轴上的顶点
且与直线
(
为坐标原点)垂直,
与
的另一个交点为
,
与
交于
,
两点.
(1)求的标准方程;
(2)求.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆的左右焦点分别为
,
上的动点
到两焦点的距离之和为4,当点
运动到椭圆
的上顶点时,直线
恰与以原点
为圆心,以椭圆
的离心率为半径的圆相切.
(1)求椭圆的方程;
(2)设椭圆的左右顶点分别为
,若
交直线
于
两点.问以
为直径的圆是否过定点?若过定点,请求出该定点坐标;若不过定点,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆C: (a>b>0)的一个顶点为A(2,0),离心率为
.直线y=k(x-1)与椭圆C交于不同的两点M,N.
(1)求椭圆C的方程;
(2)当△AMN的面积为时,求k的值.
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