Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁，AB=2，点E在棱AB上．
（1）证明：D₁E⊥A₁D；
（2）当E点为线段AB的中点时，求异面直线D₁E与AC所成角的余弦值；
（3）试问E点在何处时，平面D₁EC与平面AA₁D₁D所成二面角的平面角的余弦值为

6

6

．

Answer 1

以D为坐标原点，直线DA，DC，DD₁分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
设AE=x，则A₁（1，0，1），D₁（0，0，1），E（1，x，0），A=（1，0，0），C（0，2，0）．…（2分）
（1）因为

DA1

=（1，0，1），

D1E

=（1，x，-1）
∴

DA1

•

D1E

=1+0-1=0，所以D₁E⊥A₁D；
（2）因为E为AB中点，则E（1，1，0），
从而

D1E

=（1，1，-1），

AC

=（-1，2，0），
设AC与D₁E所成的角为θ
则 cosθ=

| AC • D1E |

| AC || D1E |

=

|-1+2+0|

5 3

=

15

15

…（9分）
（3）设平面D₁EC的法向量为

n

=（a，b，c），
∵

CE

=（1，x-2，0），

D1C

=（0，2，-1），

DD1

=（0，0，1）
由

n • D1C =0 n • CE =0

，有

2b-c=0 a+b(x-2)=0

，
令b=1，从而c=2，a=2-x
∴

n

=（2-x，1，2），…..（12分）
由题意，cos θ=

n • AB

| n |•| AB |

=

2

2 (x-2)2+5

=

6

6

∴x=3（不合题意，舍去），或x=1．
∴当AE=1，即E为线段AB的中点时，平面D₁EC与平面AA₁D₁D所成二面角的平面角的余弦值为

6

6

．