Question

17．等比数列{a_n}中，a₁=3，a₄=24，则数列{$\frac{1}{a_n}$}的前5项和为（　　）

• A． $\frac{19}{25}$
• B． $\frac{25}{36}$
• C． $\frac{31}{48}$
• D． $\frac{49}{64}$

Answer 1

分析 根据等比数列的通项公式求得a_n，则易得$\frac{1}{a_n}$=$\frac{{2}^{1-n}}{3}$．然后来求数列{$\frac{1}{a_n}$}的前5项和．

解答 解：设等比数列{a_n}中的公比为q，
∵a₁=3，a₄=24，
则a₁q³=24，即3q³=24，
故q=2．
故a_n=3×2^n-1=$\frac{3×{2}^{n}}{2}$．
则$\frac{1}{a_n}$=$\frac{2}{3×{2}^{n}}$=$\frac{{2}^{1-n}}{3}$．
∴数列{$\frac{1}{a_n}$}的前5项和为：$\frac{1}{3}$（2⁰+2^-1+2^-2+2^-3+2^-4）=$\frac{1}{3}$×$\frac{1[1-（\frac{1}{2}）^{5}]}{1-\frac{1}{2}}$=$\frac{31}{48}$．
故选：C．

点评 本题主要考查等比数列的应用，根据等比数列建立条件关系求出公比是解决本题的关键．