Question

已知数列{a_n}中，a_n＞0，且对于任意正整数n有S_n=

1

2

(an+

1

an

)，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：由S_n=

1

2

(an+

1

an

)，当n≥2时，Sn=

1

2

(Sn-Sn-1+

1

Sn-Sn-1

)，化为

S

2 n

-

S

2 n-1

=1，利用等差数列的通项公式可得S_n，进而得出a_n．

解答： 解：由S_n=

1

2

(an+

1

an

)，当n≥2时，Sn=

1

2

(Sn-Sn-1+

1

Sn-Sn-1

)，
化为

S

2 n

-

S

2 n-1

=1，
当n=1时，a1=

1

2

(a1+

1

a1

)，a₁＞0，解得a₁=1．
∴数列{

S

2 n

}是等差数列，首项为1，公差为1，
∴

S

2 n

=1+(n-1)=n，
∵?n∈N^*，a_n＞0，
∴Sn=

n

．
∴当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

n

-

n-1

．
当n=1时，上式也成立．
∴an=

n

-

n-1

．

点评：本题考查了递推式的应用、等差数列的通项公式，考查了变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．