Question

若OA，OB，OC是空间不共面的线段，且满足OA=OB=OC=1，二面角B-OA-C，C-OB-A，A-OC-B的大小分别为α，β，γ，以O为球心，半径为r作球面；给出以下结论，其中正确的有

 

；
①若r=1，劣弧BC，CA，AB的长为a，b，c，则

sina

sinα

=

sinb

sinβ

=

sinc

sinγ

；
②若r=1，圆弧AB在点A处的切线l₁与圆弧CA在点A处的切线l₂的夹角为α；
③若α=β=γ=

π

2

，球面与以OA，OB，OC为邻边所确定的平行六面体的所有表面的交线长度和为f（r），则f（1）=

3

2

π；
④若α=β=γ=

π

2

，球面与以OA，OB，OC为邻边所确定的平行六面体的所有表面的交线长度和为f（r），则f（r）-a=0（a∈R）的零点可能有0个，1个，2个，3个，4个．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：压轴题,阅读型,空间位置关系与距离,空间角

分析：①过B点作BH⊥平面OAC，垂足为H，再过H作HN⊥AO，HM⊥CO，有二面角B-OA-C，A-OC-B的平面角为∠BNH=α，∠BMH=γ，由于r=1，劣弧BC，CA，AB的长为a，b，c，即∠BOC=a，∠AOB=c，∠AOC=b，由直角三角形中正弦函数的定义，即可判断；
②若r=1，由相切和二面角平面角的定义，可得，圆弧AB在点A处的切线l₁与圆弧CA在点A处的切线l₂的夹角为α或π-α，即可判断；
③若α=β=γ=

π

2

，则由面面垂直的性质定理，可证得OA，OB，OC两两互相垂直，以OA，OB，OC为邻边所确定的平行六面体为正方体，球面与所有表面的交线为三段圆弧AB，BC，CA，求出长度，即可判断；
④由③，球面与正方体所有表面可能无交线或交线为三段圆弧AB，BC，CA，故零点个数为0，1，即可判断．

解答： 解：①过B点作BH⊥平面OAC，垂足为H，再过H作HN⊥AO，HM⊥CO，
连接BN，BM，则由线面垂直的性质可得BN⊥AO，BM⊥CO，
即有二面角B-OA-C，A-OC-B的平面角为∠BNH=α，∠BMH=γ，
由于r=1，劣弧BC，CA，AB的长为a，b，c，即∠BOC=a，∠AOB=c，
∠AOC=b，sinγ=

BH

BM

，sinα=

BH

BN

，则

sinα

sinγ

=

BM

BN

=

OBsina

OBsinc

，
∴

sinα

sinγ

=

sina

sinc

，同理可得，

sinα

sinβ

=

sina

sinb

，故

sina

sinα

=

sinb

sinβ

=

sinc

sinγ

故①正确；
②若r=1，由相切和二面角平面角的定义，可得，圆弧AB在点A处的切线l₁与圆弧CA在点A处的切线l₂的夹角为α或π-α；故②错误；
③若α=β=γ=

π

2

，则由面面垂直的性质定理，可证得OA，OB，OC两两互相垂直，以OA，OB，OC为邻边所确定的平行六面体为正方体，球面与所有表面的交线为三段圆弧AB，BC，CA，长度之和为

3π

2

，故③正确；
④若α=β=γ=

π

2

，以OA，OB，OC为邻边所确定的平行六面体为正方体，球面与所有表面的交线长度和为f（r），
则f（r）-a=0（a∈R）的零点可能有0个，1个．故④错误．
故答案为：①③．

点评：本题考查空间直线与平面的位置关系，考查线面、面面垂直的判定和性质，考查空间的二面角的判断，以及球面与正方体各面的交线关系，考查推理能力，属于有一定难度的题．