Question

9．已知函数y=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）．
（1）求f（x）最小正周期；
（2）求f（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值；
（3）求f（x）的递减区间．

Answer 1

分析 （1）利用周期公式计算周期；
（2）根据x的范围得出x+$\frac{π}{4}$的范围，利用正弦函数的单调性得出最值；
（3）令$\frac{π}{2}+2kπ$≤x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{3π}{2}+2kπ$解出f（x）的单调减区间．

解答 解：（1）f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{1}=2π$．
（2）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，
∴当x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$时，y=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）取得最大值$\sqrt{2}$，
当x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{4}$或$\frac{3π}{4}$时，y=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）取得最小值1．
（3）令$\frac{π}{2}+2kπ$≤x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{3π}{2}+2kπ$，解得$\frac{π}{4}$+2kπ≤x≤$\frac{5π}{4}$+2kπ．
∴f（x）的递减区间是[$\frac{π}{4}$+2kπ，$\frac{5π}{4}$+2kπ]，k∈Z．

点评 本题考查了正弦函数的图象与性质，根据正弦函数的性质列出方程或不等式是解题关键，属于基础题．