Question

已知双曲线方程2x2－y2＝2.
(1)求以A(2,1)为中点的双曲线的弦所在的直线方程；
(2)过点(1,1)能否作直线l，使l与双曲线交于Q1，Q2两点，且Q1，Q2两点的中点为(1,1)？如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由．

Answer 1

（1）;（2）直线l不存在,理由详见解析

试题分析：（1）设出弦的两端点，代入双曲线方程，作差即可得到弦所在直线的斜率，再利用点斜式求直线方程。（2）同（1）中方法可求得弦所在直线方程，代入双曲线，消掉y（或x）整理出关于x的一元二次方程，看判别式。若判别式大于等于0，则所求直线存在，否则不存在。
试题解析：（1）设弦的两端点为，因为A(2,1)为中点，所以。因为在双曲线上所以，两式相减得，所以,所以，
所以所求弦所在直线方程为，即。
将直线方程代入双曲线方程，整理成关于x的一元二次方程，经检验
（2）假设直线l存在，由（1）中方法可求得直线方程为，联立方程，消去y得，因为，因此直线与双曲线无交点，所以直线l不存在。