Question

解关于x的不等式：

x- 1 a

x2-x-2

＞0，（a≠0）．

Answer 1

考点：其他不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：本题解分式不等式，先将分式不等式转化为整式不等式，再对根的大小进行分类讨论，结合根轴法研究，得到的一元三次不等式的解，即本题结论．

解答： 解：∵

x- 1 a

x2-x-2

＞0，（a≠0），
∴(x-

1

a

)(x2-x-2)＞0，
即 (x-

1

a

)(x+1)(x-2)＞0．
∴（1）当

1

a

＜-1，即-1＜a＜0时，

1

a

＜x＜-1或x＞2；
（2）当

1

a

=-1即a=-1时，（x+1）²（x-2）＞0，x＞2；
（3）当-1＜

1

a

＜0，即a＜-1时，-1＜x＜

1

a

或x＞2；
（4）当0＜

1

a

＜2，即a＞

1

2

时，-1＜x＜

1

a

或x＞2；
（5）当 

1

a

=2，即a=

1

2

时，-1＜x＜2或x＞2；
（6）当

1

a

＞2，即0＜a＜

1

2

时，-1＜x＜2或x＞

1

a

．
∴（1）当a＜-1时，原不等式的解集为{x|-1＜x＜

1

a

或x＞2}；
（2）当a=-1时，原不等式的解集为{x|x＞2}；
（3）当-1＜a＜0时，原不等式的解集为{x|

1

a

＜x＜-1或x＞2}；
（4）当0＜a＜

1

2

时，原不等式的解集为{x|-1＜x＜2或x＞

1

a

}；
（5）当 a=

1

2

时，原不等式的解集为{x|-1＜x＜2或x＞2}；
（6）当a＞

1

2

时，原不等式的解集为{x|-1＜x＜

1

a

或x＞2}．

点评：本题解分式不等式，主要体现了化归转化、分类讨论的数学思想，先将分式不等式转化为整式不等式，再对一元三次不等式进行分类研究，即可得本题的解．