Question

已知函数（为常数，为自然对数的底）

（1）当时，求的单调区间；

（2）若函数在上无零点，求的最小值；

（3）若对任意的，在上存在两个不同的使得成立，求的取值范围．

 

Answer 1

（1）的减区间为，增区间为；

（2）的最小值为；

（3）．

【解析】

试题分析：（1）把代入到中求出，令求出的范围即为函数的增区间，令，求出的范围即为函数的减区间；（2）时不可能恒成立，所以要使得函数在上无零点，只需要对时，恒成立，列出不等式解出大于一个函数，利用导数得到函数的单调性，根据函数的增减性得到这个函数的最大值即可得到的最小值；（3）求出，根据导函数的正负得到函数的单调区间，即可求出的值域，而当时不合题意；当时，求出时的值，根据列出关于的不等式得到①，并根据此时的的值讨论导函数的正负得到函数的单调区间，根据单调区间得到②和③，令②中不等式的坐标为一个函数，求出此函数的导函数，讨论导函数的正负得到函数的单调区间，根据函数的增减性得到此函数的最大值，即可解出②恒成立和解出③得到④，联立①和④即可解出满足题意的取值范围．

试题解析：（1）时，

由得；得．

故的减区间为，增区间为．

（2）因为在上恒成立不可能，

故要使在上无零点，只要对任意的，恒成立

即时，．

令

则

再令

于是在上为减函数

故

在上恒成立

在上为增函数

在上恒成立

又

故要使恒成立，只要

若函数在上无零点，的最小值为．

（3）

当时，，为增函数；

当时，，为减函数．

函数在上的值域为

当时，不合题意；

当时，．

故．

①

此时，当变化时，，的变化情况如下

	—	0	+
	↘	最小值	↗

 

时，，

任意定的，在区间上存在两个不同的

使得成立，

当且仅当满足下列条件

即 ②

即 ③

令

令得

当时， 函数为增函数

当时， 函数为减函数

所以在任取时有

即②式对恒成立

由③解得 ④

由①④ 当时，

对任意，在上存在两个不同的使成立．

考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上的最值．