Question

6．已知函数$f（x）=ln（\sqrt{{x^2}+1}-x）$，对任意m∈[-3，3]，不等式f（1-mx）+f（2x）＜0恒成立，则实数x的取值范围为（-$\frac{1}{5}$，1）．

Answer 1

分析 根据函数表达式判断函数为奇函数，在判断函数的单调性，把函数变形为$f（x）=ln（\sqrt{{x^2}+1}-x）$=-ln$（\sqrt{{x}^{2}+1}+x）$，显然可知函数递减，
不等式f（1-mx）+f（2x）＜0恒成立，可转化为xm-2x-1＜0恒成立，可看成关于m的一次函数，利用一次函数性质解题即可．

解答 解：$f（x）=ln（\sqrt{{x^2}+1}-x）$，定义域为R，
∴f（-x）=ln（$\sqrt{{x}^{2}+1}+x$）=ln$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+1}-x}$=-f（x），
∴函数为奇函数，
∵$f（x）=ln（\sqrt{{x^2}+1}-x）$=-ln$（\sqrt{{x}^{2}+1}+x）$，
∴函数为减函数，
∵不等式f（1-mx）+f（2x）＜0恒成立，
∴2x＞mx-1恒成立，
∴xm-2x-1＜0恒成立，
∴-3x-1-2x＜0且3x-1-2x＜0，
∴-$\frac{1}{5}$＜x＜1．

点评 考查了抽象函数的奇偶性和单调性和利用一次函数性质解决恒成立问题．