Question

设函数f（x）=ax-

b

x

，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为7x-4y-12=0．则曲线y=f（x）上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为

 

．

Answer 1

考点：定积分,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：已知曲线上的点，并且知道过此点的切线方程，容易求出斜率，又知点（2，f（2））在曲线上，利用方程联立解出a，b；可以设P（x₀，y₀）为曲线上任一点，得到切线方程，再利用切线方程分别与直线x=0和直线y=x联立，得到交点坐标，接着利用三角形面积公式即可．

解答： 解：因为函数f（x）=ax-

b

x

，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为7x-4y-12=0．所以f′（x）|_x=2=a+

b

x2

|_x=2=

7

4

，所以

a+ b 4 = 7 4 2a- b 2 = 1 2

，解得

a=1 b=3

，故f（x）=x-

3

x

．

设P（x₀，y₀）为曲线上任一点，由y′=1+

3

x2

知
曲线在点P（x₀，y₀）处的切线方程为y-y₀=（1+

3

x02

）（x-x₀），
令x=0，得y=-

6

x0

，从而得切线与直线x=0的交点坐标为（0，-

6

x0

）；
令y=x，得y=x=2x₀，从而得切线与直线y=x的交点坐标为（2x₀，2x₀）；
所以点P（x₀，y₀）处的切线与直线x=0，y=x所围成的三角形面积为

1

2

|-

6

x0

||2x₀|=6．
故曲线y=f（x）上任一点处的切线与直线x=0，y=x所围成的三角形面积为定值，此定值为6．
故答案为：6．

点评：本题考查了导数及直线方程、三角形面积的相关知识，运算量较大，属于中档题