Question

6．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥底面ABC，AB⊥AC，AC=AA₁，E、F分别是棱BC、CC₁的中点．
（Ⅰ）若线段AC上的点D满足平面DEF∥平面ABC₁，试确定点D的位置，并说明理由；
（Ⅱ）证明：EF⊥A₁C．

Answer 1

分析 （I）利用已知及面面平行的性质可得AB∥DE，由E是棱BC的中点，即可得D是线段AC的中点．
（II）先证明A₁C⊥AC₁，又由（1）可得AB⊥A₁C，可证A₁C⊥面ABC₁，即可证明A₁C⊥BC₁，又EF∥BC₁，从而得证EF⊥A₁C．

解答 （本题满分为12分）
解：（I）∵面DEF∥面ABC₁，面ABC∩面DEF=DE，面ABC∩面ABC₁=AB，
∴AB∥DE，-------（4分）
∵在△ABC中E是棱BC的中点，
∴D是线段AC的中点．------------（6分）
（II）∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中AC=AA₁，
∴侧面A₁ACC₁是菱形，
∴A₁C⊥AC₁，--------------------------------（7分）
由（1）可得AB⊥A₁C，
∵AB∩AC₁=A，
∴A₁C⊥面ABC₁，---------------（9分）
∴A₁C⊥BC₁．-------（10分）
又∵E，F分别为棱BC，CC₁的中点，
∴EF∥BC₁，--------（11分）
∴EF⊥A₁C．---------（12分）

点评 本题主要考查了面面平行的性质，直线与平面垂直的判定和性质的应用，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．