Question

9．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA⊥底面ABCD，M是棱PD的中点，且PA=AB=AC=2，BC=2$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAC；
（Ⅱ）N是棱AB上一点，且三棱锥A-MNC的体积等于四棱锥P-ABCD体积的$\frac{1}{12}$，求$\frac{AN}{NB}$的值．

Answer 1

分析 （1）由PA⊥平面ABCD得PA⊥CD，由勾股定理的逆定理得AC⊥BC，故CD⊥平面PAC．
（2）设AN=x，求出三棱锥A-MNC和四棱锥P-ABCD的体积，利用体积比得出x，从而求出$\frac{AN}{NB}$的值．

解答 （1）证明：∵AB=AC=2，BC=2$\sqrt{2}$，
∴AB²+AC²=BC²，∴AB⊥AC．
∵底面ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∴AC⊥CD．
∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
∴PA⊥CD，又PA∩AC=A，PA?平面PAC，AC?平面PAC，
∴CD⊥平面PAC．
（2）解：设AN=x，则S_△ANC=$\frac{1}{2}AN•AC=x$，
∵M是PD的中点，∴M到平面ABCD的距离h=$\frac{1}{2}PA$=1．
∴V=_A-MNC=V_M-ANC=$\frac{1}{3}{S}_{△ANC}•h$=$\frac{x}{3}$．
∵V_P-ABCD=$\frac{1}{3}{S}_{四边形ABCD}•PA$=$\frac{1}{3}×2×2×2$=$\frac{8}{3}$．
∵三棱锥A-MNC的体积等于四棱锥P-ABCD体积的$\frac{1}{12}$，
∴$\frac{x}{3}=\frac{8}{3}×\frac{1}{12}$，∴x=$\frac{2}{3}$．即AN=$\frac{2}{3}$．
∴BN=AB-AN=$\frac{4}{3}$．
∴$\frac{AN}{NB}=\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．