Question

如图，已知点G是△ABC的重心（即三角形各边中线的交点），过点G作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点，若

AM

=x

AB

，

AN

=y

AC

，则

1

x

+

1

y

=3，由平面图形类比到空间图形，设任一经过三棱锥P-ABC的重心G（即各个面的重心与该面所对顶点连线的交点）的平面分别与三条侧棱交于A₁、B₁、C₁，且

PA1

=x

PA

，

PB1

=y

PB

，

PC1

=z

PC

，则有

1

x

+

1

y

+

1

z

=

 

．

Answer 1

考点：平面向量的基本定理及其意义

专题：计算题,探究型

分析：利用平面的向量表示式，可知存在实数λ，μ，γ，且λ+μ+γ=1，使得

PG

=λ

PA1

+μ

PB1

+γ

PC1

．而

PG

=

3

4

(

1

3

PA

+

1

3

PB

+

1

3

PC

)，建立λ，μ，γ与x，y，z的联系，整体构造出

1

x

+

1

y

+

1

z

求解．

解答： 解：由于G，A₁、B₁、C₁，四点共面，所以存在实数λ，μ，γ，且λ+μ+γ=1，
使得

PG

=λ

PA1

+μ

PB1

+γ

PC1

=λx

PA

+μy

PB

+γz

PC

而

PG

=

3

4

(

1

3

PA

+

1

3

PB

+

1

3

PC

)，所以

λx= 1 4 μy= 1 4 γz= 1 4

，
从而λ+μ+γ=4（

1

x

+

1

y

+

1

z

）=1，所以

1

x

+

1

y

+

1

z

=4
故答案为：4．

点评：本题考查空间向量的表示，向量共面的性质．思维难度较大．