Question

设函数y=f（x）在（a，b）上的导函数为f′（x），f′（x）在（a，b）上的导函数为f″（x），若在（a，b）上，f″（x）＜0恒成立，则称函数f（x）在（a，b）上为“凸函数”．已知当m≤2时，y=f（x）=

1

6

x³-

1

2

mx²+2x+2在（-1，2）上是“凸函数”，则f（x）在（-1，2）上（　　）

• A、既没有最大值，也没有最小值
• B、既有最大值，也有最小值
• C、有最大值，没有最小值
• D、没有最大值，有最小值

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：根据凸函数的定义知道f′′（x）＜0，在（-1，2）上恒成立，从而得到m＞x在（-1，2）上恒成立，这便得到m≥2，又m≤2，所以求得m=2．所以便能求出f′（x），并能判断f′（x）＞0，所以函数f（x）在（-1，2）上为单调函数，所以在开区间上无最值．

解答： 解：f′(x)=

1

2

x2-mx+2，f″(x)=x-m；
∵y=f（x）在（-1，2）上是“凸函数”，∴f′′（x）=x-m＜0在（-1，2）上恒成立，∴m＞x在（-1，2）上恒成立，∴m≥2，又m≤2，∴m=2；
∴f′(x)=

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2

x2-2x+2=

1

2

(x-2)2＞0，所以f（x）在（-1，2）上为单调增函数，所以该函数在该区间上既没有最大值，也没有最小值．
故选A．

点评：考查对新概念的理解和运用能力，函数导数的符号和函数单调性的关系，单调函数在开区间上取极值的情况．