Question

已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且c=

3

asinC-ccosA
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）若a=2，△ABC的面积为

3

，求b，c．

Answer 1

考点：正弦定理

专题：解三角形

分析：（1）利用正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦，化简整理可求得sin（A-

π

6

）的值，进而求得A．
（2）利用三角形面积公式求得bc的值进而根据余弦定理求得b²+c²的值，最后联立方程求得b和c．

解答： （1）∵

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

，
∴sinC=

3

sinAsinC-sinCcosA，
∴

3

sinA-cosA=1，
∴2sin（A-

π

6

）=1，sin（A-

π

6

）=

1

2

，
∴A-

π

6

=

π

6

或

5

6

π，
∴A=

π

3

，A=π（舍），
∴A=

π

3

（2）S_△ABC=

1

2

bcsinA=

3

1

2

•

3

2

bc=

3

，
∴bc=4，
∵cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

，
∴b²+c²-4=4，
∴

b2+c2=8 bc=4

⇒

b=2 c=2

．

点评：本题主要考查了余弦定理和正弦定理的应用．正弦定理和余弦定理是解决三角形边角问题中重要的公式，应熟练记忆．