Question

9．设$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$是同一平面内的单位向量，且$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，则（$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$）•（$\overrightarrow{c}$-2$\overrightarrow{b}$）的最大值为1$+\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 根据条件便可得到$（\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}）•（\overrightarrow{c}-2\overrightarrow{b}）=1-（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}）•\overrightarrow{c}$=$1-|\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}|cos＜\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}，\overrightarrow{c}＞$，而由题意可得到$-1≤cos＜\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}，\overrightarrow{c}＞≤1$，从而有$（\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}）•（\overrightarrow{c}-2\overrightarrow{b}）≤1+|\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}|$，可以求出$|\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}|=\sqrt{5}$，这样即可求出$（\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}）•（\overrightarrow{c}-2\overrightarrow{b}）$的最大值．

解答 解：$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow{b}$；
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=0$；
又$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{c}|=1$；
∴$（\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}）•（\overrightarrow{c}-2\overrightarrow{b}）={\overrightarrow{c}}^{2}-2\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$$+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$
=$1-（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}）•\overrightarrow{c}$
=$1-|\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}|cos＜\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}，\overrightarrow{c}＞$
$≤1+|\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}|$=$1+\sqrt{（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}）^{2}}$=$1+\sqrt{5}$；
∴$（\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}）•（\overrightarrow{c}-2\overrightarrow{b}）$的最大值为$1+\sqrt{5}$．
故答案为：$1+\sqrt{5}$．

点评 考查向量垂直的充要条件，单位向量的概念，以及向量数量积的运算及计算公式，根据$|\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}|=\sqrt{（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}）^{2}}$求向量长度的方法．