Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的离心率为2．F₁、F₂分别是它的左、右焦点，点A是它的右顶点．过F₁作一条斜率为k（k≠0）的直线与双曲线交于两个点M、N．则∠MAN=（　　）

• A、30°
• B、45°
• C、60°
• D、90°

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由于离心率e=2，可得c²=4a²=a²+b²，得到b²=3a²．双曲线方程可表示为3x²-y²=3a²．设点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．直线MN的方程为x=my-2a，与双曲线的方程联立得到根与系数的关系，再利用数量积

AM

•

AN

=0即可得出．

解答： 解：∵双曲线的离心率e=2，∴c²=4a²=a²+b²，得到b²=3a²，
则双曲线方程为3x²-y²=3a²．
设点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．直线MN的方程为x=my-2a，与双曲线方程联立得（3m²-1）y²-12amy+9a²=0，∴y₁+y₂=

12am

3m2-1

，y₁y₂=

9a2

3m2-1

，
则

AM

•

AN

=（x₁-a）（x₂-a）+y₁y₂=（my₁-3a）（my₂-3a）+y₁y₂=0，
∴AM⊥AN
∴∠MAN=90°．
故选D．

点评：本题考查了双曲线的标准方程及其性质、直线与双曲线相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、向量垂直与数量积运算的关系等基础知识与基本技能，属于中档题．