Question

1．已知曲线C：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}$=1（y≥0），直线l：y=kx+1与曲线C交于A，D两点，A，D两点在x轴上的射影分别为点B，C．记△OAD的面积S₁，四边形ABCD的面积为S₂．
（Ⅰ）当点B坐标为（-1，0）时，求k的值；
（Ⅱ）若S₁=$\frac{{2\sqrt{30}}}{7}$，求线段AD的长；
（Ⅲ）求$\frac{S_1}{S_2}$的范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意B（-1，0），将x=-1代入椭圆方程，即可求得A点坐标，代入直线方程，即可求得k的值；
（Ⅱ）将直线方程代入椭圆方程，由题意求得k的取值范围，利用韦达定理及弦长公式求得丨AD丨，根据三角形的面积公式，即可求得k的值，求得丨AD丨，
（Ⅲ）求得，四边形ABCD的面积为S₂，求得$\frac{S_1}{S_2}$的表达式，由k的取值范围，即可求得$\frac{S_1}{S_2}$的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）由题意，y=kx+1与曲线C交于A，D两点，A，D两点在x轴上的射影分别为点B，C．点B坐标为（-1，0），
则点A的横坐标为-1，代入曲线C：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}$=1（y≥0），解得点A的纵坐标为x=$\frac{3}{2}$，
即A（-1，$\frac{3}{2}$）
∵点A在直线y=kx+1，则有：$\frac{3}{2}$=k×（-1）+1，
∴解得k=-$\frac{1}{2}$，
k的值-$\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）由题意，k不存在时，四边形ABCD也不存在，则k必须存在．
设点A（x_A，y_A），点D（x_D，y_D），则点B（x_A，0），点C（x_D，0）
直线l：y=kx+1与曲线C交于A，D两点，
A，D两点代入曲线C，即$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，消去y，整理得：（3+4k²）x²+8kx-8=0，
由直线l经过椭圆左右顶点时，k=±$\frac{1}{2}$，
则-$\frac{1}{2}$≤k≤$\frac{1}{2}$，
解得：x_A+x_D=-$\frac{8k}{3+4{k}^{2}}$，x_Ax_D=$\frac{8}{3+4{k}^{2}}$，|AD|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{\sqrt{96（2{k}^{2}+1）}}{3+4{k}^{2}}$，
△OAD的面积为S₁，设原点（0，0）到直线l：y=kx+1距离为h，
则h=$\frac{1}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
S₁=$\frac{{2\sqrt{30}}}{7}$=$\frac{1}{2}$|AD|•h=$\frac{2\sqrt{6}（2{k}^{2}+1）}{3+4{k}^{2}}$=$\frac{{2\sqrt{30}}}{7}$，整理得：40k⁴+11k²-2=0，则k²=$\frac{1}{8}$，
解得k=±$\frac{\sqrt{2}}{4}$，|AD|=$\frac{6\sqrt{15}}{7}$，
∴线段AD的长$\frac{6\sqrt{15}}{7}$；
（Ⅲ）由题意及（i）：可知：S₂=$\frac{1}{2}$（y₁+y₂）丨x₁-x₂丨，
则$\frac{S_1}{S_2}$=$\frac{\frac{1}{2}丨{x}_{1}-{x}_{2}丨}{\frac{1}{2}（{y}_{1}+{y}_{2}）丨{x}_{1}-{x}_{2}丨}$=$\frac{1}{{y}_{1}+{y}_{2}}$，
由y₁+y₂=kx₁+1+kx₂+1=k（x₁+x₂）+2，
∴$\frac{S_1}{S_2}$=$\frac{1}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=$\frac{1}{k×（-\frac{8k}{3+4{k}^{2}}）+2}$=$\frac{3+4{k}^{2}}{6}$，
由-$\frac{1}{2}$≤k≤$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$≤$\frac{S_1}{S_2}$≤$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{S_1}{S_2}$的取值范围[$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$]．

点评 本题考查直线与圆锥曲线位置关系的应用，考查了圆锥曲线的简单性质，考查弦长公式的应用，体现了“设而不求”的解题思想方法，计算量大，化简复杂，属于难题．