Question

已知实数a≠0，集合A={x|y=ln

ax

x-a2-1

}，B={x|2＜x＜4}．
（1）求集合A；
（2）设命题p：x∈A．，命题q：x∈B，若p是q成立的必要条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断

专题：函数的性质及应用

分析：根据a的正负，求出集合A，在根据集合之间的包含关系即可求出a的取值范围．

解答： 解：（1）当a＞0时，由

ax

x-a2-1

＞0，?x＜0或x＞a²+1，∴A=（-∞，0）∪（a²+1，+∞）
当a＜0时，由

ax

x-a2-1

．＞0?0＜x＜a²+1，∴A=（0，a²+1）
（2）命题p：x∈A．，命题q：x∈B，若p是q成立的必要条件，则q⇒p，则B⊆A．又B={x|2＜x＜4}．
当a＞0时，a²+1≤2，∴0＜a≤1；当a＜0时，a²+1≥4，∴a≤-

3

综上，a的取值范围是（-∞，-

3

]∪（0，1）

点评：本题以充分必要条件为载体，考查了集合之间的包含关系，属于基础题．