Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足sinAcosC+cosAsinC=2sinBcosA．
（1）求角A的大小；
（2）若a=

3

，S_△ABC=

3 3

4

，试证明△ABC为等边三角形．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：计算题,三角函数的求值,解三角形

分析：（1）运用两角和的正弦公式及诱导公式，结合特殊角的三角函数值，即可求得A；
（2）运用余弦定理和面积公式，计算即可得证△ABC为等边三角形．

解答： （1）解：由sinAcosC+cosAsinC=2sinBcosA，
则sin（A+C）=2sinBcosA，
即sinB=2sinBcosA，
即cosA=

1

2

，
由于0＜A＜π，则A=

π

3

；
（2）证明：由a=

3

，S_△ABC=

3 3

4

，
则由余弦定理可得，3=b²+c²-2bccosA=b²+c²-bc，
由面积公式可得

3 3

4

=

1

2

bcsinA=

3

4

bc，
即bc=3，且b²+c²=6，
解得b=c=

3

，
则△ABC为等边三角形．

点评：本题考查余弦定理和面积公式的运用，考查两角和的正弦公式及诱导公式的运用，考查运算能力，属于基础题．