Question

若在△ABC中，AB=2，AC=

2

BC，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

考点：余弦定理

专题：解三角形

分析：设BC=x则AC=

2

x，利用余弦定理求出cosB，求出cos²B和sin²B，再利用三角形的面积公式化简S△ABC2，利用配方法和二次函数的性质求出面积的最大值．

解答： 解：设BC=x，则AC=

2

x，
根据余弦定理得，cosB=

AB2+BC2-AC2

2AB•BC

=

4+x2-2x2

4x

=

4-x2

4x

=

1

x

-

x

4

，
则cos²B=(

1

x

-

x

4

)2=

1

x2

+

x2

16

-

1

2

，sin²B=1-cos²B=

3

2

-

1

x2

-

x2

16

，
根据面积公式得，S_△ABC=

1

2

AB•BCsinB=xsinB，
所以S△ABC2=x²sin²B=x2(

3

2

-

1

x2

-

x2

16

)=

3

2

x2-1-

x4

16

=-

1

16

（x⁴-24x²）-1=-

1

16

（x²-12）²+8，
当x²=12，即x=2

3

时，此时2、2

3

、2

6

能组成三角形，
且S△ABC2取到最大值8，即△ABC面积的最大值是2

2

．

点评：本题考查余弦定理，平方关系，三角形的而面积公式，以及转化思想与二次函数的性质，注意验证三角形存在的条件，属于中档题．