Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f（x）=2sin（x-A）cosx+sin（B+C）（x∈R），函数f（x）的图象关于点（

π

6

，0）对称．
（Ⅰ）当x∈（0，

π

2

）时，求f（x）的值域；
（Ⅱ）若a=7且sinB+sinC=

13 3

14

，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：正弦定理

专题：计算题,三角函数的求值,三角函数的图像与性质,解三角形

分析：（Ⅰ）运用两角差的正弦公式和诱导公式，结合二倍角公式，化简f（x），再由对称性，计算可得A，再由x的范围，结合正弦函数的图象和性质，即可得到值域；
（Ⅱ）运用正弦定理和余弦定理，可得bc=40，再由面积公式即可计算得到．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=2sin（x-A）cosx+sin（B+C）
=2（sinxcosA-cosxsinA）cosx+sinA
=2sinxcosxcosA-2cos²xsinA+sinA
=sin2xcosA-cos2xsinA=sin（2x-A），
由于函数f（x）的图象关于点（

π

6

，0）对称，则f（

π

6

）=0，
即有sin（

π

3

-A）=0，由0＜A＜π，则A=

π

3

，
则f（x）=sin（2x-

π

3

），
由于x∈（0，

π

2

），则2x-

π

3

∈（-

π

3

，

2π

3

），
即有-

3

2

＜sin（2x-

π

3

）≤1．
则值域为（-

3

2

，1]；
（Ⅱ）由正弦定理可得

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=

14

3

，
则sinB=

3

14

b，sinC=

3

14

c，
sinB+sinC=

3

14

（b+c）=

13 3

14

，
即b+c=13，
由余弦定理可得a²=b²+c²-2bccosA，
即49=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc，
即有bc=40，
则△ABC的面积为S=

1

2

bcsinA=

1

2

×40×

3

2

=10

3

．

点评：本题重点考查正弦定理和余弦定理以及面积公式的运用，考查两角和差的正弦公式和二倍角公式的运用，考查正弦函数的图象和性质，考查运算能力，属于中档题．