Question

3．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的离心率为$\frac{1}{2}$，左右焦点分别为F₁，F₂，经过F₂作一条斜率为-1的直线，与椭圆相交于A，B两点，且△ABF₁的周长为8；
（1）求椭圆的方程；
（2）求线段AB的长．

Answer 1

分析 （1）由题意可得：$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，4a=8，a²=b²+c²，联立解得即可得出．
（2）可得F₂（1，0），直线AB的方程为：y=-（x-1）．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．直线方程与椭圆方程联立化为：7x²-8x-8=0，利用根与系数的关系、弦长公式即可得出．

解答 解：（1）由题意可得：$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，4a=8，a²=b²+c²，
解得a=2，c=1，b²=3．
∴椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（2）可得F₂（1，0），直线AB的方程为：y=-（x-1）．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，化为：7x²-8x-8=0，
∴x₁+x₂=$\frac{8}{7}$，x₁•x₂=-$\frac{8}{7}$，
∴|AB|=$\sqrt{2[（\frac{8}{7}）^{2}-4×（-\frac{8}{7}）]}$=$\frac{24}{7}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．